Strahlensatz-Quiz

Strahlensatz-Quiz: den Satz, seine Umkehrung und seine Konfigurationen meistern

Der Strahlensatz ist neben dem Satz des Pythagoras und der Trigonometrie eine der drei tragenden Säulen der Geometrie in der Sekundarstufe I und eines der Themen, die fast jedes Jahr in der Abschlussprüfung (DNB) drankommen. Dieses Strahlensatz-Quiz vereint 90 korrigierte Fragen, die das gesamte Kapitel abdecken – vom Wiederholungsteil bis zu den Anwendungsaufgaben. Du kannst dich außerdem mit den Mathe-Quiz allgemeinen Quiz weiterbilden oder den gesamten Lehrstoff der 3e (Troisième) wiederholen – über den Mathe-Quiz Brevet.

Der Satz: drei gleiche Verhältnisse

Der Strahlensatz besagt in seiner Schulversion: Liegt M auf der Geraden (AB), N auf der Geraden (AC) eines Dreiecks ABC und ist (MN) parallel zu (BC), dann sind die drei Verhältnisse AM/AB, AN/AC und MN/BC gleich. Das ist die berühmte „dreifache Verhältnisgleichheit“, die im Zentrum aller Rechenfragen steht. Die Parallelitätsbedingung ist entscheidend: Ohne sie lässt sich der direkte Strahlensatz nicht anwenden.

Die zwei Konfigurationen erkennen: Dreieck und Schmetterling

Beim Brevet (DNB) dominieren zwei Konfigurationen. Die Konfiguration „Dreieck“ ist die häufigste: ein großes Dreieck ABC mit einem kleinen Dreieck AMN darin (oder außerhalb, als Verlängerung), wobei (MN) // (BC) gilt. Die Konfiguration „Schmetterling“ tritt auf, wenn sich zwei Geraden (AB) und (CD) in einem Punkt O schneiden und (AC) // (BD) gilt: Man erhält zwei Dreiecke, die sich an ihrer gemeinsamen Spitze gegenüberliegen, wie zwei Flügel. Die richtige Konfiguration zu erkennen ist entscheidend, um die Verhältnisse in der richtigen Reihenfolge aufzuschreiben — das ist der häufigste Fehler.

Eine Länge berechnen: die Kreuzmultiplikation (eine Gleichung mit einer Unbekannten, die man isolieren muss)

Die Standardtechnik besteht darin, die Verhältnisgleichung aufzustellen und dann per Kreuzmultiplikation die Unbekannte zu isolieren. Gilt zum Beispiel AM/AB = AN/AC und wird AN gesucht, berechnet man AN = AC × AM/AB. Das Quiz übt zunächst mit ganzen Zahlen (leichte Stufe), dann mit Dezimalzahlen (mittlere Stufe) und schließlich mit mehrschrittigen Aufgaben (schwere Stufe). Vorsicht vor der klassischen Falle: AB und MB (oder MB und AM) zu verwechseln. Immer zuerst AM + MB = AB berechnen, bevor man das Verhältnis aufstellt.

Umkehrung und Kontraposition: Parallelität nachweisen

Die Umkehrung des Strahlensatzes ist das Werkzeug, um zu beweisen, dass zwei Geraden parallel sind. Sie besagt: Liegen die Punkte A, M, B in derselben Reihenfolge wie A, N, C und gilt AM/AB = AN/AC, dann ist (MN) // (BC). Beim Brevet wird stets erwartet, dass BEIDE Bedingungen geprüft werden: die Reihenfolge der Punkte und die Gleichheit der Verhältnisse. Die Kontraposition dient dem umgekehrten Fall: Sind die Verhältnisse nicht gleich, sind die Geraden nicht parallel. Diese Beweise kommen fast jedes Jahr dran.

Anwendungen: Vergrößerungen, Maßstäbe, unzugängliche Entfernungen

Der Strahlensatz ist weit mehr als nur ein geometrischer Satz: Er ist das mathematische Werkzeug für Vergrößerungen und Verkleinerungen. Das Verhältnis k = AM/AB ist genau der Vergrößerungsfaktor (oder Verkleinerungsfaktor, wenn k < 1). Les longueurs sont multipliées par k, les aires par k², les volumes par k³. C'est aussi le théorème des échelles cartographiques (1/25 000, 1/50 000…), de la hauteur d'un arbre mesurée par son ombre, et des distances inaccessibles (largeur d'une rivière, hauteur d'un bâtiment). On le combine souvent avec dem Satz des Pythagoras in Anwendungsaufgaben.

Vertiefen mit den anderen Brevet-Kapiteln

Der Strahlensatz wird sehr oft kombiniert mit dem Vollständiges Mathe-Programm für das Brevet — Pythagoras, Trigonometrie, Termumformungen. Für eine fächerübergreifende Gesamtwiederholung schau dir unser Brevet-Quiz an, das die Prüfungsthemen des DNB mischt. Und um die anderen naturwissenschaftlichen Bereiche zu entdecken (Physik-Chemie, Biologie, Astronomie), geh zu unserem Hub Quiz Naturwissenschaften.

Spiele im Zeitmodus, um unter Prüfungsbedingungen zu üben

Um den Druck der Prüfung zu simulieren, starte den Zeit-Quiz : eine begrenzte Zeit pro Frage, um Routine bei der Kreuzmultiplikation aufzubauen. Täglich bietet dir das Quiz des Tages eine frische Ladung Fragen aus allen Stufen, um dein Wissen über den gesamten Lehrplan aufzufrischen.